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La biblioteca se abrió al público en mayo de 1999 denominándose Biblioteca Mateo Inurria, por estar situada en dicha calle. En 2008, por acuerdo plenario, pasó a llamarse Biblioteca Dámaso Alonso. Y es que este poeta vivió en el número 25 de la calle Alberto Alcocer, en una casita con huerta y jardín situada en su momento a las afueras de Madrid, en Chamartín de la Rosa.

En cuanto a los orígenes de la biblioteca, en 1997 la sede del diario Ya se convierte en sede del Barclays Bank. A cambio, la entidad cede una parcela al Ayuntamiento para la construcción de una biblioteca, que entregó ya equipada. En 2008 se amplió el vestíbulo, se instaló un ascensor y se cerró una de las dos escaleras. En su lugar se colocó un lucernario para iluminar la sala de lectura.