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Aunque la propuesta era quizá demasiado novedosa, sin embargo tuvo una buena acogida por parte de las autoridades municipales, sobre todo porque el obstáculo económico que suponía la compra de las esculturas, quedaría resuelto mediante la donación de las mismas por parte de los autores o de sus familiares, gracias a la amistad que les unía a todos ellos con Sempere.

Sin esta generosa contribución de los artistas hubiera sido impensable reunir semejante conjunto de obras, muchas de ellas realizadas expresamente para el Museo, haciéndose cargo el Ayuntamiento sólo de los gastos de materiales e instalación. El proyecto quedó aprobado en el verano de 1971.

El propósito del Museo, según José Antonio Fernández Ordóñez , era recuperar un espacio urbano para uso común, convirtiéndolo en zona de paso, descanso y esparcimiento y acercar al público el arte abstracto español, hasta el momento escasamente conocido. Esta iniciativa está en relación con el Museo de las Casas Colgadas de Cuenca, fundado en 1966.

Aunque el Museo se abrió al público en 1972, la inauguración oficial no se pudo llevar a efecto debido a la polémica que desencadenó el montaje de La sirena varada de Chillida, especialmente creada para quedar suspendida de los pilares del puente. La postura que adoptó el Ayuntamiento durante la etapa del Alcalde Arias Navarro fue la rotunda oposición a que esta obra se colgase del puente, alegando razones de seguridad por el peso excesivo de la misma, sin atender a los informes realizados por los ingenieros responsables, que no tenían ninguna duda sobre la resistencia del paso, llegando a adquirir esta situación una trascendencia política. Como consecuencia de ello, la escultura de Chillida fue retirada en abril de 1973 del Museo y empezó un largo peregrinaje, al que puso fin el alcalde José Luis Alvárez en 1978, tomando la decisión de colgarla definitivamente en su emplazamiento original, tras haberse realizado un profundo estudio de las condiciones técnicas de la obra de ingeniería. La sirena varada, con sus 6.150 kilos de hormigón quedó por fin instalada el 2 de septiembre de 1978.

El recinto ocupa en la actualidad una superficie de 4.200 m2, Está configurado por una amplia zona central, cubierta en su mayor parte por el tablero del paso elevado y bordeada por dos franjas ajardinadas. Para salvar el desnivel del terreno, el Museo está estructurado en tres niveles que descienden suavemente desde la calle Serrano hasta el Paseo de la Castellana.

En el primer sector, el gran muro de contención de la calle Serrano se encuentra cubierto por una cascada de láminas de agua, diseñada por Eusebio Sempere a base de módulos de hormigón blanco, con formas onduladas, que originan curiosos efectos de luz y movimiento. El agua se recoge en un estanque rectangular, enlosado en granito como todo el pavimento del Museo, con la escultura de Martín Chirino en el centro. Una pasarela con la misma barandilla que en el resto del recinto, facilita el paso de los peatones. En este tramo se encuentran las obras de Francisco Sobrino, José María Subirachs, Rafael Leoz, el mural de Eusebio Sempere -a modo de reja colgada en los pilares-, la pequeña espiral de Andreu Alfaro y la escultura de Marcel Martí. Toda esta zona ocupa parte de lo que fue la antigua calle Martínez de la Rosa, conocida como calle de la "S" por la forma que tenía su recorrido al ascender desde la Castellana hasta la calle Serrano. Quizás este sobrenombre inspirara a Sempere a repetir este motivo, ya utilizado anteriormente por el artista, en los diversos elementos ornamentales que adornan el conjunto, como los pequeños asientos que se disponen alrededor del estanque. Aunque esta calle se suprimió, se conserva su último tramo que, mediante una escalinata, comunica con la pequeña terraza-mirador, donde se encuentra la escultura de Gustavo Torner. En el jardín está colocada la estela de Amadeo Gabino, lugar que en un principio estaba destinado a un montaje infantil del artista venezolano Jesús Soto.

El segundo nivel está presidido por el mural de Gerardo Rueda, flanqueado por las esculturas de Palazuelo y Miró. Estas dos obras fueron las últimas en incorporarse al Museo, a finales de 1978 y principios de 1979, y su colocación originó el cambio de emplazamiento de las obras de Gabino y Subirachs. Bajando, se accede a la gran explanada donde se encuentran tres de las piezas más significativas de la colección: la famosa Sirena varada de Chillida, que colgada de cuatro enormes pilares del puente ocupa el centro indiscutible del recinto, los Toros de Alberto y la figura de Julio González, constituyendo la primera visión que se obtiene de todo el conjunto del Museo. En este lugar estaba prevista en un principio una gran fuente circular diseñada por François Baschet, con pájaros en acero inoxidable y una serie de mecanismos para que el movimiento del agua originara sonidos musicales. En la zona del Museo que quedó separada del resto de la exposición por el Paseo de la Castellana, en el acceso a la calle de Eduardo Dato, se encuentra situada la escultura de Pablo Serrano. Al fondo, en el muro de contención del puente estaba prevista una obra de la escultora argentina Alicia Penalba, pero fue otra de las piezas que no se llegó a incorporar a la colección.

El carácter abierto del Museo, configurado sin ninguna limitación de acceso ni de horarios, ha requerido que se le dotase de una cuidada iluminación para que las esculturas puedan ser contempladas también por la noche.